2026 年 10 月 26 日，OpenAI 发布公告，宣布其未公开的内部推理模型在三个领域各产出一项成果：调和分析领域的 Sogge 局部平滑猜想（local smoothing conjecture）在所有维度得到证明，计算复杂度领域的指数时间假设（Exponential Time Hypothesis，ETH）被证伪，量子场论领域的杨-米尔斯（Yang-Mills）理论与量子色动力学（QCD）得到构造性存在性证明。三项成果的证明均已用 Lean 形式化验证，其中两篇论文与 Lean 证明已公开在 openai/math 仓库。
先说分量最重的一项：ETH 被证伪
指数时间假设由 Impagliazzo 与 Paturi 于 1999 年提出（2001 年与 Zane 扩充），内容一句话可以说清：判定 n 个变量上的 3-SAT 可满足性在最坏情形下需要 2^(Ω(n)) 的确定性时间。换句话说，随着变量数线性增长，求解时间的指数应该跟着线性增长，亚指数（subexponential）算法不存在。过去二十多年里，ETH 是参数化复杂度与细粒度复杂度（fine-grained complexity）的标准假设，数百篇论文以「若 ETH 成立，则问题 X 不存在亚指数算法」的形式推导条件性下界，覆盖图论、计算生物、数据库、计算几何等方向。
OpenAI 的论文《The Exponential Time Hypothesis Is False》（67 页）直接给出反例算法。定理 1.1 的原样表述：对每个固定的 k ≥ 2，存在确定性算法，对 n ≥ 20 个变量、m 个子句的 k-CNF 公式精确计算满足赋值的个数，耗时 (n+m)^(O_k(1)) · 2^(O_k(n·log log n/√log n))，空间多项式。当子句数 m ≤ Dn（D 为固定常数）时，时间界改进为 (n+m)^(O_{k,D}(1)) · 2^(O_{k,D}(n/√log n))。论文摘要将其概括为 2^(n/(log n)^(1/2+o(1)))：指数仍在，但被 √log n 除掉了。
这个时间界对实践的意义需要精确理解。取 n = 1000，自然对数 log n ≈ 6.9，√log n ≈ 2.63，指数从 1000 降到约 380。2^380 依然是天文数字，离多项式算法非常远，P 与 NP 的关系没有被动摇。ETH 的证伪斩断的是「指数的斜率必须为正」这一断言：从 2^n 到 2^(n/√log n)，复杂度类 SUBEXP（亚指数时间）里重新容得下 k-SAT 与 #k-SAT（精确计数版）。论文同时指出 #ETH 一并失守，而 SETH（强指数时间假设）在逻辑上蕴含 ETH，前提被抽掉后整条假设链条不复成立。
证伪的涟漪在论文附录 C 里列得很具体。借助 Williams 2013 年「更快 SAT 算法导出电路下界」的桥梁，ETH 不成立直接给出 E^NP ⊄ SIZE(O(n))：非确定性指数时间类中存在没有线性规模电路的语言。推论 1.3 给出组合计数的连锁反应：图上独立集计数、q-染色计数可在 2^(o(v)) 时间内确定性完成，完美匹配数可在 2^(o(v+e)) 时间内计算。推论 1.2 给出近似版：任意 k-CNF 都能在亚指数时间内随机找到满足子句数距最优仅差 εm 的赋值。以 ETH 为前提的数百条条件性下界，现在都需要重新标注前提状态。
算法本身的技术路线在论文第 2 章展开：通过对共享变量的多项式求和结构做线性替换（依赖一个满足秩约束的有理矩阵 M0，用 rank(I−M0) 的界控制所需测度数），把不可分解的赋值计数改写成可分组快速求和的低次「替换形式」；再以稀疏多项式方程组公共零点计数为枢纽完成 #k-SAT 归约，附录 D 用张量收缩给出更锐的时间界。论文引言将这套插值式恢复技术与 Kakeya 集上的多项式取值恢复（fermionant 与常数项整数矩阵 permanent 的快速算法）归入同一谱系——两个方向的技术在多项式方法层面交汇。
局部平滑猜想：一个定理带倒一串猜想
第二项成果是 Sogge 1991 年提出的局部平滑猜想。物理图像来自聚焦波：一列从薄球壳传来的波，在射线汇聚成焦点的瞬间，其 L^p 范数可以远大于初始时刻。猜想断言这种极端聚焦只能昙花一现——对时间取平均后，控制波的增长所需的初始数据正则度，比最坏单点时刻要求的要少。论文《Local smoothing for the Euclidean wave equation》（59 页）在每个空间维度 n ≥ 2 证明该猜想：对 2 ≤ p < ∞ 与任意 ε > 0，波算子 U(T) 在 R^n × [1,2] 上的时空 L^p 范数可由初始数据的 Sobolev 范数控制，正则度阶数 s = max(0, (n−1)/2 − n/p) + ε；p = 2 时 ε 可取 0，无任何正则度损失。
这个问题此前逐维度推进：2019 年 Guth、Wang、Zhang 证明二维情形；2025 年 Wang 与 Zahl 证明三维 Kakeya 猜想，被普林斯顿高等研究院称为「世纪证明」。OpenAI 的结果一次覆盖所有维度，且新证明基于一个此前不存在的辅助偏微分方程。
局部平滑猜想的特殊性在于它的推论链。论文从主定理直接导出：Bochner-Riesz 猜想（平均算子在全部猜想范围内一致有界）、Stein 平方函数猜想的界、球面与抛物面及截断锥上 Fourier 限制估计的完整内部区域、Schrödinger 方程的局部平滑，以及 Kakeya 与 Nikodym 极大算子猜想。其中 Kakeya 部分的表述是：含每个方向单位线段的集合（Kakeya 集）必须具有满 Hausdorff 维数 n，对应极大算子界 O_ε(δ^(−ε))。证明的核心是定理 1.2 的单个频环临界估计（p 取临界值 pc = 2n/(n−1) 时，增长仅为 [log(2+N)]^(2/p)），配合守恒流与柱面传播的论证。三维情形还有一个能说明工作强度的细节：δ^-2 根方向分离的单位管，其并集体积的下界带 (1+log(1/δ))^66 的对数损失因子，这种非常规指数正是长期卡住三维问题的技术障碍所在。
物理：杨-米尔斯存在性，千禧问题的一半
第三项成果在构造性量子场论方向：沿 Balaban 的框架，证明四维含规范场与费米子的相互作用量子场论在数学上严格存在，覆盖 QCD 与一个包含标准模型规范场和费米子的最简大一统完备化。作为子问题，它包含纯杨-米尔斯理论的存在性证明，对应 Clay 研究所量子杨-米尔斯千禧年问题的存在性部分（该问题还要求证明质量间隙，不在本次结果范围内）。
这个方向的协作组阵容：David Gross（2004 年诺贝尔物理学奖，渐近自由的发现者）领衔，成员包括 Arthur Jaffe（杨-米尔斯千禧问题的提出者之一、Clay 研究所联合创始人）、Michael Douglas、Igor Klebanov 与 Nikita Nekrasov。与前两项不同，物理组选择暂不公开 AI 产出的原始材料，由协作组先行自行撰写。
发布机制本身就是一个实验
公告将这批手稿定位为「原始研究数据」（raw research data），并为三项成果设计了三种不同的公开策略：数学结果直接放出 AI 输出，由社区自行组织解读；计算机科学结果在放出 AI 输出的同时，组建外部协作组负责解释，证明与 Lean 形式化立即可查；物理结果完全交由协作组决定发布节奏。外部协作遵循四条原则：透明（参与者不签保密协议）、OpenAI 不索取学术署名、协作组对解读成果拥有署名权、参与自愿且无报酬。
ETH 协作组由 Russell Impagliazzo、Ramamohan Paturi（二人即 ETH 的原始提出者）与 Ryan Williams（曾证伪强 ETH 的变体）领衔，该组向 OpenAI 提出两个条件：全部原始数据公开以供社区独立验证；OpenAI 资助一场研讨会消化该结果对整个领域的影响。OpenAI 另向 Simons Foundation 捐赠 500 万美元，用于支持数学界理解与检验 AI 产出的工作坊与专项计划。
三项成果的时间线：9 月 9 日产出杨-米尔斯存在性的自然语言证明，9 月 18 日产出 QCD 证明；10 月 16 日产出 ETH 的自然语言反驳，次日完成 Lean 形式化；10 月 18 日产出局部平滑证明，同样次日完成形式化；10 月 25 日论文修订；10 月 26 日公告。自然语言证明到机器可验证形式化证明的间隔以天计。
仓库全貌与算力口径
openai/math 仓库当前收录 721 篇手稿，按 373 个成果族组织，约 42% 的主线结果已有 Lean 形式化。README 说明了产出方式：同一个未发布的内部模型，平均每个成果消耗约 3 小时 ChatGPT Pro 级别的思考算力，整个评测过程中模型被投了约 4000 个问题。仓库同时披露了两个例外：黎曼 zeta 函数 Re(s) > 11/12 无零点区域的写作经人工编辑，Hodge 猜想（CM 代数簇情形）走了不同流程。10 篇模型推理摘要（reasoning traces）也已公开。
对研究者与工程侧，这份公告有两层直接可操作的内容：其一，ETH 条件下界相关的文献需要重新核对前提，新算法把一批「不可能亚指数」的结论改写成了开放问题；其二，两篇论文、Lean 证明与 comparator 挑战文件全部可下载可复验，公告明确表示将资助社区围绕这些结果组织公开检验。论文自身的收束也值得照抄：把理论进展转化为实际更快的算法，仍需大量后续研究。
来源：OpenAI 官方公告《Working with academic communities to build scientific understanding》（2026-10-26）；openai/math 仓库（GitHub）；论文《The Exponential Time Hypothesis Is False》《Local smoothing for the Euclidean wave equation》（2026-10-25 修订版）。